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Stochastic Stew and Target Volatility Options

Resumen del Premio BME al mejor trabajo sobre Productos Derivados en el XXII en el Foro de Finanzas celebrado en Zaragoza el 20 y 21 de noviembre de 2014
[11/02/2015]

Título original: “Stochastic Stew and Target Volatility Options

Autores: Martino Grasselli, Università degli Studi di Padova y Pole Universitaire Léonard de Vinci de, París; y Jacinto Marabel, Universidad de Alcalá de Henares y BBVA

Resumen realizado por los propios autores

 

En los últimos años los activos derivados sobre la volatilidad se han hecho muy populares y su liquidez ha crecido mucho. Por ejemplo, en 2004 el Chicago Board Options Exchange (CBOE) introdujo futuros sobre el índice de volatilidad VIX, el cual recoge la volatilidad a corto plazo asociada a opciones sobre el índice de renta variable Standard and Poor’s 500. Es interesante notar que las opciones sobre el VIX son uno de los activos más contratados en el CBOE. Las target volatility options u opciones con volatilidad objetivo son una clase nueva de activos derivados cuyo payoff o pago a vencimiento depende de una medida de volatilidad. En particular, una target volatility call u opción de compra con volatilidad objetivo (TVC) es una opción europea simple sobre un determinado activo donde el nominal de la opción depende del ratio entre la volatilidad objetivo (una cantidad fija que representa las expectativas del inversor sobre la volatilidad realizada futura) y la volatilidad realizada efectiva del activo subyacente durante la vida de la opción. Este producto permite al inversor tomar una exposición conjunta con respecto a la evolución del activo subyacente, así como a la de su volatilidad realizada. En este sentido, cuando la volatilidad realizada es alta en relación con el nivel de volatilidad objetivo, la exposición a la evolución del precio correspondiente al activo subyacente es baja. Por el contrario, cuando la volatilidad realizada es relativamente baja, el nominal invertido en la opción se incrementa. Como, en los mercados de renta variable, usualmente existe una relación inversa entre la evolución del precio de los activos y su volatilidad realizada este tipo de opciones permiten a los inversores obtener mayor exposición a la evolución del precio del activo subyacente en un entorno de mercado alcista.

El concepto de “skew”

En los mercados de opciones europeas, la convención es cotizar las mismas en función de la volatilidad implícita. Dicha volatilidad se calcula como el nivel de volatilidad correspondiente a la fórmula de Black-Scholes (1973) para opciones europeas que nos permite recuperar el precio de la opción de mercado. La volatilidad implícita expresada como función del precio de ejercicio de las opciones y del vencimiento de las opciones europeas constituye la superficie de volatilidad implícita.

Los supuestos del modelo de Black-Scholes (1973) implican que la superficie de volatilidad implícita debería ser plana y estática. Pero desde la crisis de la bolsa de Nueva York en octubre de 1987, los mercados de opciones de renta variable se han caracterizado por una dependencia negativa de la volatilidad implícita con respecto al precio de ejercicio. Dicha dependencia se conoce con el nombre de skew de volatilidad y se ha mantenido omnipresente desde entonces.

Modelo de volatilidad estocástica multifactorial

Puesto que las TVC dependen de la evolución conjunta del precio del activo subyacente y de la volatilidad realizada, es necesario considerar modelos de volatilidad estocástica para su valoración. Uno de los modelos de volatilidad estocástica más afamados y utilizados es el modelo de Heston (1993) de volatilidad estocástica. Dicho modelo postula la existencia de una correlación constante entre el rendimiento del activo subyacente y un único factor aleatorio que recoge su volatilidad instantánea.  La cuestión es que la evidencia empírica (Derman, 1999) muestra que, en los mercados de renta variable, el skew de volatilidad implícita es independiente del nivel de volatilidad implícita. En este sentido, hay días de baja volatilidad en los que la pendiente es empinada, así como días de baja volatilidad donde el skew de volatilidad es relativamente plano. Por otro lado, también nos encontramos días de alta volatilidad con skews planos, pero también con skews muy empinados.

El problema de los modelos unifactoriales del estilo del modelo de Heston (1993) es que dichos modelos pueden generar skews de volatilidad empinados o skews de volatilidad planos para un nivel de volatilidad dado, pero no pueden generar ambos dada una especificación paramétrica concreta del modelo y, por tanto, no son capaces de replicar uno de los hechos empíricos observados en los mercados de opciones de renta variable. Christoffersen et al. (2009) extendieron el modelo original de Heston (1993) para considerar un modelo de volatilidad estocástica con dos factores. En este artículo denotamos este modelo como modelo de Heston bifactorial. Dicho modelo es capaz de capturar la existencia de correlación estocástica entre los rendimientos del activo subyacente y su volatilidad instantánea. Además, un modelo multifactorial de volatilidad estocástica ofrece más flexibilidad no sólo para modelizar la evolución del skew de volatilidad sino también para modelizar la estructura temporal de volatilidad.

Impacto de la existencia de skew estocástico en la valoración de las opciones europeas con volatilidad objetivo

Como hemos dicho previamente, dado que el pago a vencimiento de las TVC depende de la evolución conjunta del precio del activo subyacente y de su volatilidad instantánea, la consideración de la existencia de skew estocástico puede tener un impacto relevante en la valoración de las opciones con volatilidad objetivo. Este artículo contribuye a la literatura investigando el impacto de la existencia de skew estocástico en la valoración de las opciones europeas con volatilidad objetivo. Además, desarrollamos fórmulas novedosas para la valoración de TVC forward-start bajo el modelo de Heston bifactorial. Las opciones forward-start son aquéllas cuyo precio de ejercicio se fijará en función del nivel del activo subyacente en un instante futuro anterior al vencimiento de la opción.

Cuando los participantes en el mercado utilizan un determinado modelo para valorar opciones exóticas[1], como las TVC, sin mercado líquido calibran los parámetros del modelo para cuadrar los precios de las opciones europeas observables en ese momento en el mercado y utilizan los valores estimados de los parámetros para valorar la opción exótica correspondiente. En este sentido, para comparar la valoración de TVC bajo el modelo de Heston (1993) y bajo el modelo de Heston bifactorial, calibramos los parámetros de ambos modelos a los precios de opciones europeas asociadas a la compañía Google Inc. para dos fechas concretas: el 8 de febrero de 2012 y el 7 de noviembre de 2013 para investigar si hay diferencias significativas en la valoración de TVC entre ambos modelos y, también, para investigar si el signo y magnitud de esas diferencias es robusta a distintas condiciones de mercado.

Los resultados empíricos de nuestro análisis indican que la consideración de factores de volatilidad adicionales tiene un efecto relevante en la valoración de las TVC en función del precio de ejercicio de las opciones. En este sentido, calibraciones similares de modelos de volatilidad estocástica mono-factoriales y multifactoriales a los precios actuales de opciones europeas simples pueden generar discrepancias relevantes en la valoración de TVC. Este hecho está relacionado con la existencia de error de modelo, que es el riesgo que surge de la utilización de un modelo de valoración cuyos supuestos no recogen adecuadamente la naturaleza del problema a analizar. En este caso, la cuestión clave es si las TVC son un producto que se cotiza en mercados líquidos con precios públicamente disponibles. Si la respuesta es afirmativa, entonces, por definición,  no existe riesgo de modelo. Los participantes en el mercado ajustarán sus parámetros y todos los modelos darán el mismo precio. En esta situación, una cuestión interesante sería si el precio de este tipo de opciones es consistente con el precio de las opciones europeas. Pero como hemos dicho, el mercado de TVC no es un mercado líquido y la existencia de error de modelo está presente. La elección del modelo correcto es una cuestión abierta pero la evidencia empírica muestra que el skew es estocástico y que el modelo de Heston bifactorial tiene en cuenta este hecho estilizado mientras que el modelo de un factor no es capaz de considerarlo. Esperamos que la liquidez de este tipo de opciones se incremente en el mercado interbancario. Este hecho ayudaría a reducir el riesgo de modelo asociado a este tipo de estructuras.

Referencias bibliográficas:

  • Black, F., Scholes, M.S., 1973. The pricing of options and corporate liabilities.Journal of Political Economy 81, 637-654.
  • Christoffersen, P. F., Heston, S. L., Jacobs, K., 2009. The shape and term structure of the index option smirk: Why multifactor stochastic volatility models work so well. Management Science 55, 1914-1932.
  • Derman, E. 1999,. Regimes of volatility. Quantitative Strategies Research Notes, Goldman Sachs, New York.
  • Heston, S. L., 1993. A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options. Review of Financial Studies 6, 327-343.

 

Información complementaria:

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[1] Por opción exótica entendemos opciones relativamente complejas de valorar sin un mercado líquido.

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